全期望公式

1. 直观理解

想象我们要计算全公司的平均工资 $E(X)$。我们可以分两步走：

• 先计算每个部门的平均工资 $E(X|Y=\text{部门})$。

• 再对这些部门平均工资求期望（按人数加权平均），就能得到全公司的平均工资。

这就是全期望公式的核心思想：$E[E[X|Y]]=E[X]$。

2. 数学推导

严谨的推导过程如下。定义期望：

$E(x)={\sum }_{x}xp(x)$

利用边缘概率公式 $p(x)={\sum }_{y}p(x,y)$，将上式展开：

$E(x)={\sum }_{x}x{\sum }_{y}p(x|y)p(y)$

交换求和顺序（这是关键一步）：

$E(x)={\sum }_{y}p(y)\underset{E(x|y)}{\underbrace{\sum _{x}xp(x|y)}}={\sum }_{y}p(y)E(x|y)$