傅里叶级数

三角函数系的正交性

$\{1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx)\}$

这里要证明的话可以用到积化和差公式

系数推导（对于周期为 $2\pi$ 的函数）

$a_0$ 推导

推导 $a_n,b_n$

这里给I式两边同乘 $cos(kx)$ ，再到 $-\pi ->\pi$ 上积分就会发现I式第二项只剩下了n=k的这一项，然后解出结果能导出 $a_n$

推广

上述公式要推广到任意周期函数，只需要用换元法就可以。

示例

下面的代码用傅里叶级数拟合了一个周期为 6 的方波，可以看到当n为 3000 时，拟合的方波已经非常趋近于真实的方波，肉眼基本上无法分辨。

import numpy as np  
t = 4  
x = np.arange(-t * np.pi, t * np.pi, 0.1).reshape((-1, 1))  
def fourier(ns, x):  
    n = np.linspace(1, ns, ns).reshape(1, -1)  
    an = n * 0  
    bn = 1 / (np.pi * n) * (2 - 2 * np.cos(n * np.pi))  
    res = an * np.cos(n * x) + bn * np.sin(n * x)  
    return res.sum(axis=1)  
  
  
fx = fourier(3000, x)  
  
import matplotlib.pyplot as plt  
  
plt.plot(x, fx)  
plt.show()