线性变换

矩阵本质上来讲是一种线性变换，谈线性变换之前我们先来定义线性空间。 通常我们会把线性空间理解为欧式空间 $R^n$, 但实际上, 虽然两者是线性同构的，但是我们并不要求这些基向量一定是正交的，基向量可以是任意的，任意一组基向量在通过平行四边形法则运算之后形成的所有向量，共同构成了一个向量空间。

在定义好线性空间后，就可以给出线性变换的概念，假设我们要把线性空间V中的向量映射到线性空间W中，现在给定L满足如下性质： $L(\vec{a}+\vec{b})=L(\vec{a}+L(\vec{b})$

$$L(\lambda \vec{a})=\lambda L(\vec{a})$$

那么我们就说L是一个线性变换, 它是一个映射，从线性空间V到线性空间W的线性映射V和W的维度不做任何要求。

线性变换到矩阵

设 $e_1,...,e_n\in V,{ϵ}_1,...,{ϵ}_m\in W$ $L(e_1,...,e_n)=(L{e}_1,...,L{e}_n)=({ϵ}_1,...,{ϵ}_m)A_{m,n}$ 这个等式表达了线性变换L可以将V空间的基向量投影到W空间中，也就是说L变换的结果可以由W空间的基向量经过线性组合得到，所以我们可以说，A矩阵就代表一个线性变换。

其中 $A_{m,n}$ 如下：

$a_{11}$	$a_{12}$	…	$a_{1n}$
$a_{21}$	$a_{22}$	…	$a_{2n}$
…	…	…	…
$a_{m1}$	$a_{m2}$	…	$a_{mn}$